Question

在平面直角坐标系中，现将一块腰长为

5

的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，-2），直角顶点C在x轴的负半轴上（如图所示），抛物线y=ax²+ax+2经过点B．
（1）点C的坐标为

（-1，0）

，点B的坐标为

（-3，-1）

；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD⊥x轴于D，由于AC=

5

，AO=2，利用勾股定理可计算出OC=1，则C点坐标为（-1，0）；根据等腰直角三角形的性质得∠ACB=90°，BC=AC，根据等角的余角相等得到∠DBC=∠ACO，根据三角形全等的判定方法可证得Rt△DBC≌Rt△OCA，则DC=OA=2，DB=OC=1，OD=OC+CD=1+2=3，于是得到B点坐标为（-3，-1）；
（2）由于抛物线y=ax²+ax+2经过点B，把B（-3，-1）代入可求出a的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）由于要以AC为直角边得到等腰直角三角形，则①过A点作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=

5

，△ACP₁为等腰直角三角形；②过C点作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=

5

，△ACP₂为等腰直角三角形，然后利用全等三角形的判定与性质确定P₁与P₂的坐标，再分别把它们代入抛物线的解析式来确定是否在抛物线上．

解答：解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，
∵AC=

5

，A点坐标为（0，-2），
∴OC=

AC2-OA2

=1，
∴C点坐标为（-1，0）；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠DCB+∠ACO=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴Rt△DBC≌Rt△OCA，
∴DC=OA=2，DB=OC=1，
∴OD=OC+CD=1+2=3，
∴B点坐标为（-3，-1）；
故答案为（-1，0），（-3，-1）；
（2）把B（-3，-1）代入y=ax²+ax+2得（-3）²a-3a+2=-1，解得a=-

1

2

，
抛物线的解析式为y=-

1

2

x²-

1

2

x+2；
（3）存在．理由如下：
①过A点作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=

5

，则△ACP₁为等腰直角三角形，再作P₁E⊥y轴于E，如图，
与（1）一样可证得Rt△EAP₁≌Rt△OCA，
∴P₁E=OA=2，AE=OC=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴P₁点的坐标为（2，-1），
当x=2时，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×2²-

1

2

×2+2=-1，
∴P₁点在抛物线上；
②过C点作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=

5

，则△ACP₂为等腰直角三角形，再作P₂F⊥x轴于F，如图，
与（1）一样可证得Rt△FCP₂≌Rt△OCA，
∴P₂F=OC=1，CF=OA=2，
∴OF=CF-OC=2-1=1，
∴P₂点的坐标为（1，1），
当x=1时，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×1²-

1

2

×1+2=1，
∴P₂点在抛物线上，
∴在抛物线上存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形．满足条件的点P的坐标为（2，-1）、（1，1）．

点评：本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，当a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；当a＜0，y_最，大值=

4ac-b2

4a

；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于三角形全等的判定与性质以及勾股定理要熟练运用．