Question

如图，AB为半圆的直径，O是圆心，C、D是半圆上的两点，且∠COD=90°，AC与BD相交于点E．
（1）试写出图中一对相似三角形，并写出他们相似的理由；
（2）请你在图中量一量线段DA和DE的长，猜想它们有何数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出题中存在的相似三角形；根据已知分析AD与DE的关系．

解答：（1）解：△ADE∽△BCE，△AED∽△DEC．
以△ADE∽△BCE为例说明理由：
∵∠AED=∠BEC∠DAC=∠CBD，
∴△ADE∽△BCE．   （3分）

（2）通过度量和猜想得AD=DE．   （4分）
证明：∵∠DOC=90°，∠DAC=

1

2

∠DOC，
∴∠DAC=45°．   （6分）
又∵AB是圆O的直径，
∴∠ADE=90°．
∴∠AED=180°-45°-90°=45°．
∴∠DAE=∠AED．
∴DA=DE．  （8分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．此题还考查了圆的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．