Question

如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结

（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；
（2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；
（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1），（2）或（3）

解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：
∵抛物线与轴交于点
∴
∴
所以，抛物线的函数关系式为：················· 2分
又
因此，抛物线的顶点坐标为······················ 3分
（2）连结

∵是的两条切线，
∴∴
又四边形的面积为∴∴
又∴
因此，点的坐标为或··············· 5分
当点在第二象限时，切点在第一象限.
在直角三角形中，
∴∴
过切点作垂足为点
∴
因此，切点的坐标为························ 6分
设直线的函数关系式为将的坐标代入得
解之，得
所以，直线的函数关系式为··············· 7分
当点在第三象限时，切点在第四象限.
同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为
因此，直线的函数关系式为
或····················· 8分
（3）若四边形的面积等于的面积
又
∴
∴两点到轴的距离相等，
∵与相切，∴点与点在轴同侧，
∴切线与轴平行，
此时切线的函数关系式为或
······················· 9分
当时，由得，
当时，由得，················ 11分
故满足条件的点的位置有4个，分别是
······························ 12分
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
（1）通过点，求得抛物线的函数关系式和顶点坐标
（2）连结通过是的两条切线，得到，通过四边形的面积和得到，从而求得E点坐标有两个，分别求得切点的坐标，求得直线的函数关系式
（3）若四边形的面积等于的面积，即，得出切线与轴平行，通过切线的函数关系式，求得点的坐标