Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，BE切⊙O于B交AC的延长线于E，若CD=4，BE=3，则⊙O的直径等于

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   3

Answer 1

B
分析：先连接BC．由于AB是直径，CD⊥AB，易得∠CMA=90°，CM=DM=CD=2，CM²=AM•BM，而BE是切线，易知∠EBA=90°，从而易证CD∥BE，再根据平行线分线段成比例定理的推论可知△ACM∽△ABE，于是AM：AB=CM：BE，再设AM=x，BM=y，可得关于x、y的方程，解可求x、y，从而可求AB．
解答：解：如右图所示，连接BC，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴∠CMA=90°，CM=DM=CD=2，CM²=AM•BM，
∵BE是切线，
∴∠EBA=90°，
∴CD∥BE，
∴△ACM∽△ABE，
∴AM：AB=CM：BE，
设AM=x，BM=y，那么
，
解得，
∴AB=x+y=3．
故选B．
点评：本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质、垂径定理、解方程．解题的关键是证明CD∥BE，得出△ACM∽△ABE．