Question

 请阅读下列材料

问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC的边长为．问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

 

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Answer 1

解：（1）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=．

连结P P′，

在Rt△BP′P中，

∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴ P P′=2，∠BP′P=45°． 

在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，

∵ ，即AP′ ² + PP′ ² = AP²．

∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．

∴ ∠AP′B=135°．

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．    

（2）过点B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延长线于点E．

∴ ∠EP′ B=45°.

∴ EP′=BE=1.

∴ AE=2.

∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．   

∴ ∠BPC=135°，正方形边长为．