Question

如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；

（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．

抛物线过原点，

．

．

抛物线的解析式为，

即．

（2）如图1，当四边形是平行四边形时，

．

由，

得，，

，．

点的横坐标为．

将代入，

得，

；

根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，

当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．?????

（3）如图2，由抛物线的对称性可知：

，．

若与相似，

必须有．

设交抛物线的对称轴于点，

显然，

直线的解析式为．

由，得，．

．

过作轴，

在中，，，

．

．．

与不相似，

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．

所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．