Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接.

（1）求点三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）点为抛物线对称轴上一点，连接，，若，求点的坐标；

（3）已知点，若是抛物线上一个动点（其中），连接，，，求面积的最大值及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），. .抛物线的对称轴为直线；（2）；（3）当时，面积有最大值是. .

【解析】

（1）令y=0，解一元二次方程可得A、B的坐标，由x=0，可得点C的坐标．把抛物线解析式配方即可得到对称轴；

（2）设点D（1，m），由CD=BD，得到，根据两点间的距离公式列方程，解方程即可；

（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点E作直线ER⊥y轴于点R，过点P作PF⊥ER于点F，可得四边形QRFP是矩形．由，得到．把代入，配方即可得到结论．

（1）令，得：．

解方程，得：，．

∵点在点的右侧，

∴点的坐标为，点的坐标为．

由，得：，

∴点的坐标为．

∵．

∴抛物线的对称轴为直线．

（2）设点，

∵，∴，

∴

∴．

∴D（1，）．

（3）如图，过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点E作直线ER⊥y轴于点R，过点P作PF⊥ER于点F，

∴∠PQR=∠QRF=∠RFP=90°，

∴四边形QRFP是矩形．

∵，

∴

．

∵，

∴

∴当时，面积有最大值是．

当时，，

∴．