Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把边长分别为x₁，x₂，x₃，…，x_n的n个正方形依次放入△ABC中，请回答下列问题：
（1）按要求填表：

n	1	2	3
xn

（2）第n个正方形的边长x_n=

 

；
（3）若m，n，p，q是正整数，且x_m•x_n=x_p•x_q，试判断m，n，p，q的关系．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的性质就可以求出第一个正方形的边长，其它正方形的边长求法相同；
（2）根据所求x_n的一般式进行计算．

解答：解：（1）设第一个正方形的边长是x，则

DE

AC

=

BD

AB

=

x

2

，
同理得到

DF

BC

=

AD

AB

=x，
两式相加得到

x

2

+x=1
解得x=

2

3

，
同理解得：第二个的边长是

4

9

=(

2

3

)2，第三个的边长是

8

27

=(

2

3

)3；

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）依此类推，第n个正方形的边长是(

2

3

)n；

（3）∵x_m•x_n=x_p•x_q，∴(

2

3

)m•(

2

3

)n=(

2

3

)p•(

2

3

)q
∴(

2

3

)m+n=(

2

3

)p+q
∴m+n=p+q．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应边的比相等求出边长，是解决本题的关键．