Question

如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=20cm、BD=12cm，两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动。
（1）求证：当E、F运动过程中不与点O重合时，四边形BEDF一定为平行四边形。
（2）当E、F运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

Answer 1

解：（1）连接DE，EB，BF，FD
              
              ∵两动点E、F同时分别以2cm/s的速度从点A、C出发在线段AC相对上运动
               ∴AE=CF
               ∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O
               ∴OD=OB，OA=OC（平行四边形的对角线互相平分） 
               ∴OA-AE=OC-CF或AE-OA=CF-OC 即 OE=OF
               ∴四边形BEDF为平行四边形.( 对角线互相平分的四边形是平行四边形) 
        （2）①当点E在OA上，点F在OC上时EF=BD=12cm, 四边形BEDF为矩形
                    ∵运动时间为t    ∴AE=CF=2t    ∴EF=20-4t=12      ∴t=2（s） 
                ②当点E在OC上，点F在OA上时，EF=BD=12cm       EF=4t-20=12
                    ∴t=8（s）因此当E、F运动时间2s或8s时，四边形BEDF为矩形。