Question

已知△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a． BC边的高为h_a，AC边的高为h_b．且有a≤h_a，b≤h_b，求△ABC的三个内角的度数．

Answer 1

解：设三角形面积为S，
∵•a•h_a=•b•h_b=S，
∴h_a=，h_b=，
而a≤h_a，b≤h_b，
∴a²≤2S，b²≤2S，
∵a，b，2S均大于0，
∴a²•b²≤4S，
∴ab≤2S，
而2S=ab•sinC，即ab≤ab•sinC，
∴sinC≥1，而sinC≤1，
∴sinC=1，
∴∠C=90°，
∴h_a=b，h_b=a，
∴a≤b，b≤a，
∴a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴△ABC的三个内角的度数为：∠C=90°，∠A=∠B=45°．
分析：设三角形面积为S，根据三角形的面积公式得到•a•h_a=•b•h_b=S，即h_a=，h_b=，由a≤h_a，b≤h_b，得到a²≤2S，b²≤2S，得到a²•b²≤4S，所以有ab≤2S，而2S=ab•sinC，即ab≤ab•sinC，即可得到sinC=1，∠C=90°，根据直角三角形的性质得到h_a=b，h_b=a，则a≤b，b≤a，即可判断△ABC为等腰直角三角形，从而易得到△ABC的三个内角的度数．
点评：本题考查了三角形的面积公式：三角形的面积等于底乘以底边上的高的一半．也考查了直角三角形的面积公式，90度的正弦值以及等腰直角三角形的性质．