Question

已知，如图，四边形ABCD内接于⊙O，且CD是⊙O的直径，AB∥CD．
（1）求证：AD=BC；
（2）如果∠ADC=75°，CD=4cm，求

AB

的长及四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据两平行线之间所夹弧相等，即可得出

BC

=

AD

，进而得出AD=BC．
（2）根据已知条件求出∠AOB的度数，再利用弧长公式首先求出弧长，再利用勾股定理求出梯形的高以及上底长，即可求出梯形面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，AB∥CD．
∴

BC

=

AD

（夹在两平行线之间的弧相等），
∴AD=BC（在同圆或等圆中相等的弧所对弦相等）；

（2）解：连接AO，BO，
∵∠ADC=75°，
∴∠OAD=75°，
∴∠DOA=30°，
∵AD=BC，AB∥CD，
∴∠BCD=75°，
∴∠COB=30°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠COB=180°-30°-30°=120°，
∵CD=4cm，
∴DO=CO=2cm，
∴

AB

的长为：

120π×2

180

=

4

3

πcm；
作OE⊥AB，垂足为E，
∵∠COB=30°，AB∥CD，
∴∠EBO=30°，
∵BO=2cm．
∴EO=1cm（在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半），
∵EO⊥AB，
∴BE=AE=

2 2-12

=

3

cm，
∴AB=2

3

cm，
∴四边形ABCD的面积为：

1

2

×（AB+CD）×EO=

1

2

×（2

3

+4）×1=（

3

+2）cm²．

点评：此题主要考查了弧长公式的应用以及梯形面积求法，根据已知得出∠AOB的度数以及梯形的高与上底长是解题关键．