Question

如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：PD是半圆O的切线．

Answer 1

【考点】垂径定理；平行线的性质；圆周角定理；切线的判定．

【分析】（1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD的度数；

（2）利用点E是的中点，进而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．

【解答】（1）解：∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，

∴2CO=DO，∠DCO=90°，

∴∠CDO=30°，

∴∠AOD=60°；

（2）证明：如图，连接OE，

∵点E是的中点，

∴=，

∵由（1）得∠AOD=60°，

∴∠DOB=120°，

∴∠BOE=60°，

∴∠EAB=30°，

∴∠AFO=90°，

∵DP∥AE，

∴PD⊥OD，

∴直线PD为⊙O的切线．