题目内容

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5 $数学公式$ ，若关于x的方程（5 $数学公式$ +b）x²+2ax+（5 $数学公式$ -b）=0有两个相等的实数根，又方程2x²-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

解：∵方程（5 $\text{[math]}$ +b）x²+2ax+（5 $\text{[math]}$ -b）=0有相等实数根，
∴△=（2a）²-4（5 $\text{[math]}$ +b）（5 $\text{[math]}$ -b）=0．
得a²+b²=75．
∵C²=75，∴a²+b²=c²．
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
设x₁、x₂是2x²-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根，
则x₁+x₂=5sinA，x₁•x₂= $\text{[math]}$ sinA．
∵x₁²+x₂²=6，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
∴（5sinA）²-5sinA-6=0．
解得sinA= $\text{[math]}$ ，或sinA=- $\text{[math]}$ （舍去）．
在Rt△ABC中，
C=5 $\text{[math]}$ ，a=c•sinA=3 $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$
故S_△ABC= $\text{[math]}$ ab=18．
分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有相等的实数根必须满足△=b²-4ac=0．根据根与系数的关系求出∠A的正弦，运用三角函数及勾股定理求出a，b的长度，从而求出△ABC的面积．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．同时考查了三角函数及勾股定理．