Question

已知：如图,Rt△ABC，∠ACB=90°,点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E交BC于点D

（1）求证:直线AB是⊙E的切线；

（2）设直线AB和⊙E的公共点为G， AC=8，EF=5，连DG，求⊙E的半径r.

Answer 1

（1）证明：连接AE，过E作EG⊥AB于G，

        ∵FE⊥BC  ∴∠BEF=90°

        又∠ACB=90°

        ∴EF∥AC    ∴∠AEF=∠EAC

        ∵EF=AF     ∴∠AEF=∠EAF

        ∴∠EAC=∠EAF

        ∵∠ACB=90  ∴EC⊥AC

又EG⊥AB

        ∴EG = EC

        ∴直线AB是⊙E的切线.

   （2）解：∵EC⊥AC，

        ∴直线AC是⊙E的切线

又直线AB是⊙E的切线（已证），切点为G，

∴AG=AC=8

又AE=EF=5

∴FG=AG—AF = 3

在Rt△EFG中，

∴⊙E的半径r的长为4.