Question

如图，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）试判断△PEF的形状，并请说明理由．
（2）当0＜t＜2.5时，设△PEQ的面积为y（cm²），求出y（cm²）与t（s）之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据条件可以得出△AEP≌△CPF，从而得出PE=PF，就可以得出得出△PEF的形状为等腰三角形；
（2）作PG⊥EF于G，就可以而出EG=3，由AB∥EF就可以得出

AE

AD

=

EQ

CD

就可以表示出EQ，近而表示出GQ和PQ，在Rt△PGQ中由勾股定理就可以表示出PG，根据三角形的面积公式就可以求出y与t的关系式．

解答：解：（1）△PEF为等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BCA．
∵AE=BF=CP=t，
∴CF=DE．
∵AD=AC，
∴AC=BC，
∴AP=CF．
∵在△AEP和△CPF中，

AE=CP ∠DAC=∠BCA AP=CF

，
∴△AEP≌△CPF（SAS），
∴EP=PF．
∴△PEF为等腰三角形；

（2）作PG⊥EF于G，
∴EG=

1

2

EF．
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴

AE

AD

=

EQ

CD

，
∴

t

5

=

EQ

6

，
∴EQ=

6

5

t，
∴GQ=3-

6

5

t．
∵CP=AQ=t，
∴PQ=5-2t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理，得
PG=

(5-2t)2-(3- 6 5 t)2

，
=4-

8

5

t．
∵S△PQE=

1

2

EQ•PG，
∴y=

1

2

×

6

5

t×（4-

8

5

t），
=-

24

25

t²+

12

5

t（0＜t＜2.5）．
∴y与t之间的函数关系式为：y=-

24

25

t²+

12

5

t（0＜t＜2.5）．

点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行线分线段成比例定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用相似表示出EQ的值和运用勾股定理表示PG的值是解答本题的难点和关键．