Question

如图，抛物线y=-x²-2ax+b经过点A（1，0）和点P（3，4）．
（1）求此抛物线的解析式，写出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，并依此在所给平面直角坐标系中画出抛物线的大致图象；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为B，现将抛物线向射线AP方向平移，使P点落在M点处，同时抛物线上的B点落在点D（BD∥PM）处．设抛物线平移前P、B之间的曲线部分与平移后M、D之间的曲线部分，与线段MP、BD所围成的面积为m，线段 PM为n，求m与n的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）分别将A点和P点的坐标代入解析式中求解即可得出a和b的值，即可得出抛物线的解析式；从而可根据解析式得出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标；图象如下图所示．
（2）先根据平移的性质可以得出四边形MPBD是平行四边形，阴影部分即为四边形MPBD是平行四边形的面积，过点B作BE⊥PA于E，即有4PA=BEAB，故四边形MPBD的面积m=BE•PM，代入数据即可得出m和n的关系．

解答：解：（1）抛物线y=x²-2ax+b经过点A（1，0）和点P（3，4），
∴

-1-2a+b=0 -9-6a+b=4

解得

a=-3 b=-5

抛物线与x轴的交点坐标为（5，0），（1，0），顶点坐标为（3，4）（即P点），
由此可作出抛物线的大致图象如右；

（2）如图，连接PB，MD，
根据平移的性质可知，PB与MD平行且相等，四边形MPBD是平行四边形，
阴影部分的面积就是平行四边形MPBD的面积，
过B点作BE⊥PA，垂足为E，
则有sin∠PAB=

4

PA

=

BE

AB

，
∵A（1，0）和点P（3，4），
∴PA=

42+22

=2

5

，而AB=4，
∴BE=

16

2 5

=

8 5

5

，
∴平行四边形MPBD，其面积为S=BE•PM，即有m=

8 5

5

n．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和平行四边形的有关知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．