Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B，
（1）CF=DE成立吗？试说明理由．
（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=BD，再根据等边对等角可得∠B=∠DCE，然后求出∠FEC=∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED=90°，然后求出∠CED=∠ECF=90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．

解答 解：（1）证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠FEC=∠B，
∴∠FEC=∠DCE，
∵点E是BC的中点，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ECF=90°，
在△CDE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CED=∠ECF=90°}\\{CE=EC}\\{∠FEC=∠DCE}\end{array}\right.$
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF=DE；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}{-AC}^{2}}$=8，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=3，CE=$\frac{1}{2}BC=4$，
∴S_{四边形DCFE}=3×4=12．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．