Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．
（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．
（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C（等边对等角），
∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABC=∠D（等量代换），
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
（2）解：∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．
（3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

(2 3 )2+(2+4)2

=4

3

BF=BO=

1

2

BD=2

3

，
∵AB=2

3

，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°，
∴OA⊥AF，
∴直线FA与⊙O相切．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．