Question

在RT△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求BE•CE的值．

Answer 1

解：过P作AC、AB的垂线，交AC于点F，交AB于点G．
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，
∴PE=PF=PG，
∴P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．
设直角三角形ABC内切圆的半径PE=r，则
r=2×=2×=1；
在四边形PFAG中，PG⊥AB，AF⊥AB，
∴PG∥FA，∠A=90°，
∴四边形PFAG是正方形，
∴AG=PG=AF=1，
∴BG=2，CF=3；
又∵∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，
∴BG=BE=2，CE=CF=3，
∴BE•CE=2×3=6．
分析：过P作AC、AB、BC的垂线，根据角平分线的性质可得三条线段相等．所以P是三角形ABC的内心，即内切圆的圆心．PE就是内切圆的半径．根据直角三角形内切圆的半径=2S_△ABC÷L_△ABC可得，PE=1．
点评：本题考查了角平分线的性质．解答该题时，证明四边形AFPG是正方形是求BE、CE的关键．