Question

如图，四边形ABCD为一等腰梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．
（1）求∠CEF的度数；
（2）求证：EF∥BD；
（3）若AB=7，CD=3，则线段BC和EF的长分别为______和______．

Answer 1

（1）解：∵△AEF与△CEF关于EF对称，
∴△AEF≌△CEF．
∴∠AEF=∠CEF，AE=CE．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠AEF=∠CEF=45°．
答：∠CEF=45°；

（2）证明：连接AC，
∵AE=CE，∠AEC=90°，
∴∠EAC=∠ECA=45°．
∴∠EAC=∠AEF．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠BEC=∠DCE=90°，AC=BD．
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠BAC=∠ABD，
∴∠AEF=∠ABD，
∴EF∥BD；

（3）解：作DG⊥AB于G，
∴∠AGD=∠EGD=90°．
∴∠EGD=∠AEC=∠DCE=90°，
∴四边形DGEC是矩形，
∴GD=EC，DC=GE．
在Rt△AGD和Rt△BEC中
，
∴Rt△AGD≌Rt△BEC（HL），
∴AG=BE．
∵AG+GE+EB=B，且AB=7，CD=3，
∴AG=BE=2．
∴AE=5．
∴CE=5．
在Rt△AEC和Rt△BEC中，由勾股定理，得
AC=5，BC=．
∴BD=5．
∵EF∥BD，
∴，
∴，
∴EF=．
故答案为：，．
分析：（1）由轴对称的性质可以得出△AEF≌△CEF，就可以得出∠AEF=∠CEF，由CE⊥AB就可以求出∠AEC的度数而得出结论；
（2）连接AC，由等腰梯形的性质就可以得出△ABC≌△BAD，就可以得出∠BAC=∠ABD，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠AEF=∠ABD而得出结论；
（3）作DG⊥AB于G，就可以得出四边形DGEC是矩形，进而 可以得出△AGD≌△BCE，而求出BE的值，由勾股定理求出AC、BC的值，由EF∥BD就可以得出△AEF∽△ABD，由相似三角形的性质就可以求出结论．
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，等腰梯形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时根据轴对称的性质求解是关键，