Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，

的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/ 秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（-m，-m）为AC上的点（m>0）  （1）试分别求出A，B，C三点的坐标；

（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；

 

（3）若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且PQA=，当Q在第四象限内运动时，下列说法：APQ+PBQ的度数和不变；‚BAP+PBQ的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值。

 

Answer 1

解：（1）∵OA＝OB＝OC，∠AOC＝∠BOC＝90°

     ∴∠OAC＝∠OCA＝∠OBC＝∠OCB＝45°

     ∴∠ACB＝90°                                                  ……1分

     又△ABC的面积为9，

     ∴OA＝OC＝OB＝3                                                ……2分

     ∴A（－3，0），B（3，0），C（0，－3）                            ……4分

（2）当t＝3秒时，即CP＝OC时，DP与DB垂直且相等.                  ……5分

理由如下：

连结OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N

∵D（－m，－m）

∴DM＝DN＝OM＝ON＝m

∴∠DOM＝∠DON＝45°

而∠ACO＝45°

∴DC＝DO

∴∠PCD＝∠BOD＝135°

又CP＝OC＝OB

∴△PCD≌△BOD (SAS)                                           ……7分

∴DP＝DB，∠PDC＝∠BDO

∴∠BDP＝∠ODC＝90°

即DP⊥DB.                                                     ……8分

（3）解：①正确.

在QA上截取QS＝QP，连结PS.                                    ……9分

∵∠PQA＝60°

∴△QSP是等边三角形

∴PS＝PQ，∠SPQ＝60°

∵PO是AB的垂直平分线

∴PA＝PB

而PA＝AB

∴PA＝PB＝AB

    ∴∠APB＝60°

    ∴∠APS＝∠BPQ

∴△APS≌△BPQ                                                 ……11分

∴∠PAS＝∠PBQ

∴∠APQ＋∠PBQ＝∠APQ＋∠PAS

＝∠APB＋∠BPQ＋∠PAS

=∠APB＋∠APS＋∠PAS

=∠APB＋∠PSQ

=60°+ 60°=120°                      ……12分