Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点M
（1）直线FC与O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BM，CM=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）答：直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；

（2）解：由（1）知，△COM为直角三角形，连接CB，
∵OB=BM，
∴CB=OB=BM，
∴∠COM=60°，
在Rt△COM中，设OC=x，则OM=2x，
由勾股定理得：OM²-OC²=CM²，
即（2x）²-x²=（2）²，
解得：x=2，
答：⊙O的半径为2．
分析：（1）连接OC，通过证明OC∥AF，从而证得OC⊥FG即可判定切线．
（2）首先根据题意得出∠COM=60°，进而利用勾股定理求得⊙O的半径的长即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形性质，垂径定理，解直角三角形等知识点的应用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题型较好．