Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AC为⊙O₁的直径，CA、CB的延长线分别交⊙O₂于点D、E，AC=6cm，BE=11cm，AD=BC．求：
（1）BC的长；
（2）∠DEC的余弦值；
（3）两圆⊙O₁和⊙O₂的圆心距．

Answer 1

分析：（1）已知了AC、BE的长，可直接由切割线定理求出BC的长；
（2）连接AB；此时四边形ABED是⊙O₂的内接四边形，则∠CAB=∠E，因此只需在Rt△ABC中求得∠BAC的余弦值即可．
（3）连接AE，易知∠ABE=90°，由圆周角定理可得AE是⊙O₂的直径，那么O₁O₂即为△ACE的中位线，在（1）中求得了BC的长，即可得到EC的长，根据三角形中位线定理即可求出两圆的圆心距．

解答：解：（1）设BC=xcm，则AD=xcm，由切割线定理的推论知CA•CD=CB•CE；
6（6+x）=x（x+11），（1分）
即x²+5x-36=0，解得x₁=4，x₂=-9（舍去）
∴BC=4cm；（2分）

（2）连接AB；∵AC是⊙O₁的直径，
∴CB⊥AB；
∴AB=

AC2-BC2

=

62-42

=2

5

；（4分）
又∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠CAB=∠DEC，
∴cos∠DEC=cos∠CAB=

AB

AC

=

2 5

6

=

5

3

；（4分）

（3）连接AE；∵AB⊥BC，
∴∠ABE=90°；
∴AE是⊙O₂的直径，O₁，O₂分别为AC、AE的中点．
∴O₁O₂=

1

2

CE=

1

2

（4+11）=

15

2

（cm）．（6分）

点评：此题主要考查了圆周角定理、切割线定理、圆内接四边形的性质、三角形中位线定理以及解直角三角形的应用等知识．