Question

观察下列等式，并回答有关问题：
13+23=

1

4

×22×32；
13+23+33=

1

4

×32×42；
13+23+33+43=

1

4

×42×52；
…
（1）若n为正整数，猜想1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n2(n+1)2

；
（2）利用上题的结论比较1³+2³+3³+…+100³与5000²的大小．

Answer 1

分析：（1）根据所给的数据，找出变化规律，即是

1

4

乘以最后一个数的平方，再乘以最后一个数加1的平方，即可得出答案；
（2）根据（1）所得出的规律，算出1³+2³+3³+…+100³的结果，再与5000²进行比较，即可得出答案．

解答：解：（1）根据所给的数据可得：
1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n2(n+1)2．
故答案为：

1

4

n2(n+1)2．

（2）1³+2³+3³+…+100³
=

1

4

×1002×1012
=(

1

2

×100×101)2
=5050²＞5000²，
则1³+2³+3³+…+100³＞5000²．

点评：此题考查了数字的变化类，通过观察、分析、总结得出题中的变化规律是解题的关键．