题目内容
【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+
交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；
（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（
，
）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣
，
）．
【解析】
（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后求得a，b的值，从而得到问题的答案；
（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+ 求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），
然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可；
（3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求得AM和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴将点A和点B的坐标代入得：
，解得a＝﹣1，b＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）直线y＝mx+交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，
∴直线AQ的解析式为y＝x+．
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n， n+），F（n，0），
∴PN＝﹣n2+n+2﹣（n+）＝﹣n2+n+
，NF＝n+．
∵PN＝2NF，即﹣n2+n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．
当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，
∴M（，）．
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．
设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（，）．
根据题意得：
，解得
．
∴直线AM的函数解析式为y＝x+．
∵D为AC的中点，
∴D（﹣，1）．
设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，
∴AC的解析式为y＝2x+2．
设直线DE的解析式为y＝﹣x+c，将点D的坐标代入得：
+c＝1，解得c＝
，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+．
将y＝﹣x+ 与y＝x+联立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，）．
【题目】丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：
②A、B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：
平均数 | 中位数 | 方差 | |
A班 | 80.6 | m | 96.9 |
B班 | 80.8 | n | 153.3 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全数学成绩频数分布直方图；
（2）写出表中m、n的值；
（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．
