Question

如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，

（1）求证：CE平分∠BCD；

Answer 1

（1）证法一：过点E作EF⊥CD，垂足为F

∵DE平分∠ADC∠A=90°

∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等）

∵E是AB的中点

∴AE=BE

∴EF=BE

∵∠B=90°

∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）

证法二：在DC上截取DF=DA，连接EF

∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠FDE

在△ADE和△FDE中

AD=FD

∠ADE=∠FDE

DE=DE

∴△ADE≌△FDE（SAS）

∴∠A=∠DFE，AE=EF

∵E是AB的中点

∴AE=BE

∴EF=BE

∵∠A=∠B=90°

∴∠EFC=∠B=90°

在Rt△BCE和Rt△FCE中

EB=EF

CE=CE

∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL）

∴∠BCE=∠FCE

∴CE平分∠BCD

证法三：延长DE交CB延长线于G

易证△ADE≌△BGE

∴DE=GE

又易得CG=CD

∴CE平分∠BCD（5分）

（2）∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°

∴∠ADC+∠BCD=180°

∵∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD

∴∠EDC+∠ECD=90°

∴∠DEC =90°

∴

由（1）的证明可知△ADE≌△FDE且△BCE≌△FCE

∴（9分）

（3）方法一：由（1）可证AD+BC=CD

∵

由（2）知

∴

∴CD=25

方法二：由（1）可得

EF=AE=12

∴CD=25