Question

如图所示，∠MBN=45°，若△ABC的顶点A在射线BM上，且AB=

2

，点C在射线BN运动（C
不与B重合）．请你探究：
（1）当BC=

1或2

时，△ABC是直角三角形，并标出所有符合要求的C点；
（2）当BC的值在

1＜BC＜2

范围时，△ABC是锐角三角形；
（3）当BC的值在

0＜BC＜1或BC＞2

范围时，△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：①若△ABC是直角三角形，则有两种情况：∠ACB=90°或∠BAC=90°．根据等腰直角三角形的性质进行计算BC的长；
②结合图形，知要使△ABC是锐角三角形，则应介于①的两种情况之间；
③结合图形，知要使△ABC是钝角三角形，则应小于①中求得的较小的BC或大于①中求得的较大的BC的长．

解答：解：①如图所示，

当∠ACB=90°时，则BC=

2

2

AB=1；
当∠BAC=90°时，则BC=

2

AB=2．
即BC=1或2时，△ABC是直角三角形；
故答案为：
②当1＜BC＜2时，△ABC是锐角三角形；
故答案为：1＜BC＜2；
③当0＜BC＜1或BC＞2时，△ABC是钝角三角形．
故答案为：0＜BC＜1或BC＞2．

点评：本题综合运用了勾股定理和等腰直角三角形的性质，能够结合图形分析不同形状的三角形的取值范围．