Question

已知关于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，此方程总有实数根；
（2）若关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0的两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．

Answer 1

分析：（1）①当该方程是一元一次方程时，解方程即可；
②当该方程是一元二次方程时，根据已知方程的根的判别式的符号进行判定该方程的根的情况；
（2）先利用求根公式求出两根，x₁=-3，x₂=-

1

k

，只要1被k整除，并且有k≥1的整数，即可得到k的值．

解答：解：（1）①当k=0时，方程为x+3=0，解得x=-3，∴此时方程有实数根；
②当k≠0时，△=（3k+1）²-12k=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0
∴此时方程有实数根；
∴综上，无论k取任何实数时，此方程总有实数根；

（2）解方程得到：x=

-(3k+1)±(3k-1)

2k

，则x₁=-3，x₂=-

1

k

．
∵关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+3=0的两个根均为整数，且k为正整数
∴k=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；
当△=0，方程有两个相等的实数根；
当△＜0，方程没有实数根．同时考查了解方程的方法和整数的整除性质．