题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
与直线y=﹣
x﹣交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y=﹣x﹣与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线y=﹣x﹣上方，求△PAC的最大面积；
（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=
；（2）当m=
时，
取最大值，最大值为
；（3）能，点P（﹣4，
）或（2，
）．
【解析】
试题分析：（1）将x=4代入直线y=﹣
x﹣中求出y值，即可得出点B坐标，在令直线y=﹣x﹣中y=0，求出x值，从而得出点A的坐标，由点A、B两点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，设出P点坐标，表示出Q的坐标，利用分割图形法求面积找出
关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设能，由抛物线的解析式找出抛物线的对称轴，分线段AB为对角线和边两种情况来考虑，根据平行四边形的性质找出关于P点横坐标的一元一次方程，解方程即可求出P点的横坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出点P的坐标．
试题解析：（1）把x=4代入y=﹣x﹣=﹣×4﹣=﹣2，
∴点B的坐标为（4，﹣2），
把y=0代入y=﹣x﹣=0，
解得：x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
把A，B代入y=
，得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式：y=；
（2）过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，如图1所示．
设P（m，
）（1＜m＜4），Q（m，﹣
m﹣
），
则PQ=﹣（﹣m﹣）=
，
∵=
=
OAPQ=×1×[﹣（﹣m﹣）]=
=
（1＜m＜4），
∴当m=时，取最大值，最大值为；
（3）假设能．由（1）知抛物线的对称轴为x=
=1，
∴点M的横坐标为1，以点A、B、P、M为顶点的平行四边形有两种情况：
①当AB为平行四边形的边时，有
，则﹣1﹣4=
﹣1，
解得：=﹣4，即点P的横坐标为﹣4，
将x=﹣4代入y=，得：y=，
∴点P（﹣4，）；
②当AB为平行四边形的对角线时，有
，则﹣（﹣1）=4﹣1，
解得：=2，即点P的横坐标为2，
将x=2代入y=，得：y=
，
∴点P（2，
）．
综上所述：以点A、B、P、M为顶点的四边形能成为平行四边形，点P的坐标为（﹣4，）或（2，）．
