Question

)如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．

    (1) 求抛物线解析式；

(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；

    (3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．

 

Answer 1

解：(1) 由题意，得：              …………1分

解得：．                        …………3分

∴这个抛物线的解析式为y＝x²－x＋2．     …………4分

(2) 解法一：

如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．

∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝．

∵B(4，0)，C(0，2)，   ∴CO＝2，BO＝4，

∴MF＝1，BF＝2，

∴M(2，1)                                   ………………5分

∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，

设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，

在Rt△OCN中，CN²＝OC²＋ON²，

∴(4－x)²＝2²＋x²，解得：x＝，∴N(，0)．     ………………6分

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：

，解得：．

∴直线DE的解析式为y＝2x－3．              ………………8分

解法二：

如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．

∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，CM＝BM．

设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，

在Rt△OCN中，CN²＝OC²＋ON²，

∴(4－x)²＝2²＋x²，解得：x＝，∴N(，0)．     ………………5分

∴BN＝4－＝．

∵CF∥x轴，∴∠CFM＝∠BNM．

∵∠CMF＝∠BMN，

∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．

∴F(，2)．                             …………………6分

设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：

，解得：．

∴直线DE的解析式为y＝2x－3．   ………………8分

(3) 由(1)得抛物线解析式为y＝x²－x＋2，∴它的对称轴为直线x＝．

① 如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(，2)，

以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P₁，

则∠CP₁B＝∠CAB．                 …………9分

GA＝＝，

∴点P₁的坐标为(，－)．             …………10分

② 如图4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，

∴G、N关于直线BC对称．           …………11分

∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．    …………12分

⊙N交抛物线对称轴于点P₂，则∠CP₂B＝∠CAB．               …………13分

设对称轴与x轴交于点H，则NH＝－＝1．

∴HP₂＝＝，

∴点P₂的坐标为(，)．