Question

已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于________．

Answer 1

分析：连接AE，AF，DF，根据AD为直径，可证A、C、B、E四点共圆，则∠ACF=∠ABD，又∠AFC=∠ADB，可证△AFC∽△ADB，则=，而∠FAD=∠FED=∠BEC=∠BAC=45°，根据=求解．
解答：解：如图，连接AE，AF，DF，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠AEB=∠ACB=90°，
∴A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACF=∠ABD，
又∵∠AFC=∠ADB，
∴△AFC∽△ADB，
∴=，
∵∠FAD=∠FED=∠BEC=∠BAC=45°，
在Rt△ADF中，===．
故答案为：．
点评：本题考查了四点共圆的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．关键是利用四点共圆，得到圆周角相等，判断相似三角形．