Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG，有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S_△ABD⁼

3

4

AB²．
其中正确的结论有

①②④

（填序号）．

Answer 1

分析：先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．

解答：解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=

1

2

CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=

1

2

CG，
故可得出BG+DG=CG，即②正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S_△ABD=

1

2

AB•DE=

1

2

AB•（

3

BE）=

1

2

AB•

3

2

AB=

3

4

AB²，即④正确．
综上可得①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．