Question

已知抛物线y=x²+mx-

1

4

m²（m＞0）与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）设抛物线与y轴交于点C，若∠ACB=90°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）证明抛物线的对称轴-

b

2a

＜0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）先设出抛物线与x轴的交点坐标为A（x₁，0），B（x₂，0），根据的x₁与x₂关系确定x₁，x₂异号，再设出C点坐标，利用射影定理可得CO²=AO•BO，进而得到关于m的方程，解可得答案．

解答：解：（1）证明：∵m＞0，
∴x=-

b

2a

=-

m

2

＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；

（2）设抛物线与x轴的交点坐标为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-m＜0，x₁•x₂=-

1

4

m²＜0，
∴x₁，x₂异号，
当x=0时，y=-

1

4

m2，
∴抛物线与y轴交点坐标为C（0，-

1

4

m2），
∴OC=

1

4

m2，OA•OB=-x₁•x₂=

1

4

m2，
∵∠ACB=90°，AC⊥AB，
∴CO²=AO•BO，
∴（

1

4

m2）²=

1

4

m2，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m=2．

点评：此题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，题目难度不大，综合性较强，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用．