题目内容

已知二次函数y= $数学公式$ x²+（3- $数学公式$ ）x-3（m＞0）的图象与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），且a＜b．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求代数式 $数学公式$ a²+（3- $数学公式$ ）a+ma²+6 $数学公式$ a+9的值．

解：（1）∵二次函数y= $\text{[math]}$ x²+（3- $\text{[math]}$ ）x-3 （m＞0）的图象与x轴交于点（a，0）和（b，0），
∴令y=0，即 $\text{[math]}$ x²+（3- $\text{[math]}$ ）x-3=0．即（ $\text{[math]}$ x+3）（ x-1）=0．
∵m＞0，
∴ $\text{[math]}$ ＞0．
解得 $\text{[math]}$ ，b=1
∴A（ $\text{[math]}$ ，0）和B（1，0）；

（2）由（1） $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
由a是方程mx²+（3- $\text{[math]}$ ）x-3=0的根，得 $\text{[math]}$ a²+（3- $\text{[math]}$ ）a=3．
∴ $\text{[math]}$ a²+（3- $\text{[math]}$ ）a+ma²+6 $\text{[math]}$ a+9= $\text{[math]}$ a²+（3- $\text{[math]}$ ） a+（ $\text{[math]}$ a+3）²=3．
分析：（1）利用“十字相乘法”将一元二次方程转化为（ $\text{[math]}$ x+3）（ x-1）=0．由此可以求得点A、B两点的横坐标；
（2）由（1） $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．然后把x=a代入方程mx²+（3- $\text{[math]}$ ）x-3=0，则
$\text{[math]}$ a²+（3- $\text{[math]}$ ）a+ma²+6 $\text{[math]}$ a+9= $\text{[math]}$ a²+（3- $\text{[math]}$ ） a+（ $\text{[math]}$ a+3）²=3．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，充分利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．