Question

已知关于x的方程

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x2-(m-2)x+m2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂．是否存在正数m，使得x₁²+x₂²=224？若存在请求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由△=0，即(m-2)2-4×

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×m2=0得到m的方程，可求得m的值，再把m的值代入原方程，解方程即可；
（2）先假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，然后利用根与系数的关系x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²．于是有x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，解方程求出m的值，同时由△＞0得m＜1，且m为正数，最后确定不存在符合条件的正数m

解答：解：（1）依题意得△=0，即(m-2)2-4×

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×m2=0，
-4m+4=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为

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x2+x+1=0
解得x₁=x₂=-2．

（2）不存在．
假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，
则由韦达定理得x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，
即：m²-8m-20=0，
解得m₁=10，m₂=-2（舍去）
∵△=(m-2)2-4×

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×m2=-4m+4＞0，
∴m＜1
∴m₁=10也不符合题意，应舍去．
故不存在正数m使得方程两根满足x₁²+x₂²=224．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．考查了根与系数的关系x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了存在性问题的解题方法和格式．