Question

如图1，直线与轴、轴分别相交于点C、D，一个含45º角的直角三角板的锐角顶点A在线段CD上滑动，滑动过程中三角板的斜边始终经过坐标原点，∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B。

（1）试探索△AOB能否构成以AO、AB为腰的等腰三角形。若能，请求出点B的坐标；若不能，说说明理由；

（2）若将题中“直线”、“∠A的另一边与轴的正半轴相交于点B”分别改为“直线”、“∠A的另一边与轴的负半轴相交于点B”（如图2），其他条件不变，试探索△AOB能否为等腰三角形（只考虑点A在线段CD的延长线上且不包括点D时的情况）。若能，请求出点B的坐标；若不能，请说明理由

 

Answer 1

解：代入，代入，

得点C、D的坐标分别为（1，0）、（0，1）。

则OC=OD=1，CD=，∠OCD=∠ODC=45º。

（1）△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形。

∵AO=AB，∠OAB=45º，

∴∠AOB=∠ABO=67.5º，∠DOA=22.5º，

又∵∠ABO=∠BAC+∠ACB，即67.5º=∠BAC+45º，

∴∠BAC=22.5º=∠DOA，

∴△ABC≌△OAD，

∴AC=OD=1，BC=AD=CD－AC=－1，

则OB=OC－BC=2－，点B的坐标为（2－，0），

即在滑动过程中△AOB可以构成以AO、AB为腰的等腰三角形，

此时点B的坐标为（2－，0）。

（2）若△OAB为等腰三角形，则有如下三种情况：

①OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45º，因此∠AOB=90º，点A与点D重合，不合题意。

②BA=BO，则∠BAO=∠BAO，∴OA∥CA，因此不合题意。

③AB=AO，

∵∠BAO=45º，∴∠AOB=∠ABO=67.5º，

∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=22.5º

∴∠OAD=∠ODC－∠AOD=22.5º=∠AOD

∴∠ABC=∠BAC=67.5º

由知CD=OD=，DC=，

∴AD=OD=，BC=AC=AD+DC=+，

∴BO=BC－OC=，

∴点B的坐标为（，0）。