题目内容

如图，已知A，B两点的坐标分别为（ $数学公式$ ，0），（0， $数学公式$ ），以点C（-1，-1）为圆心的⊙C分别与x轴，y轴都相切；若D是⊙C上的一个动点，线段DB与x轴交于点E．则△ABE的最大面积是________．

$\text{[math]}$
分析：过B作圆C的切线BM交X轴于N，当D和M重合时，E和N重合，此时AE最大，因为△ABE的高OB一定时，此时△ABE的面积就最大，连接CF、CW，根据切线的性质证四边形CWOF是正方形，得到OW=CW=CF=OF=1，根据切线长定理推出BF=BM，NW=NM，设NW=NM=x，在Rt△BNO中由勾股定理得出BN²=OB²+ON²，代入得到方程，求出x，即可求出AE的最大值，即可求出答案．
解答：过B作圆C的切线BM交X轴于N，当D和M重合时，E和N重合，此时AE最大，
因为△ABE的高OB一定时，此时△ABE的面积就最大，
连接CF、CW，
∵圆C且X轴于W，切Y轴于F，

∴CW⊥X轴，CF⊥Y轴，∵X轴⊥Y轴，
∵CF=CW，
∴四边形CWOF是正方形，
∴OW=CW=CF=OF=1，
∵BM切圆C于M，
∴BF=BM，NW=NM，
设NW=NM=x，则BN= $\text{[math]}$ -1+1-x= $\text{[math]}$ -x，
ON=1+x，
在Rt△BNO中由勾股定理得：BN²=OB²+ON²，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（1+x）²，
解得：x=2- $\text{[math]}$ ，
∴此时AE最大是 $\text{[math]}$ -1+1+2- $\text{[math]}$ =2，
△ABE的最大面积是 $\text{[math]}$ ×AE×OB= $\text{[math]}$ ×2×（ $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ -1，
故答案为： $\text{[math]}$ -1．
点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的面积，坐标与图形的性质，解一元一次方程，正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．