Question

已知：如图，等腰梯形ABCD，AD=1，AD∥BC，沿对角线AC翻折梯形ABCD，若点D恰好落在下底BC的上点E处．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）当∠B=60°时，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵△ADC沿AC翻折得△AEC，
∴△ADC≌△AEC，
∴AE=AD，EC=DC，∠EAC=∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=AD=CD，
∴四边形AECD是菱形；

（2）解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∵AE=EC=AD=CD，AD=1，
∴AB=AE，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AD=BE=EC=1，
∴BC=2，
作AF⊥BE，
∴AF=，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）×AF÷2
=（1+2）×÷2
=．
分析：（1）根据翻折的性质和等腰梯形的性质，只要证得AD=CD=EC=AE，即可证明；
（2）易证△ABE是等边三角形，可得AD=AB=BE=1，作出高并求得AF=，然后根据梯形面积的求法，解答出即可．
点评：本题主要考查了等腰梯形的性质、菱形的判定和翻折变换，对于菱形的证明，注意选择合适的条件．