Question

（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC= _________ ；
如图2，∠BOC= _________ ；
如图3，∠BOC= _________ ；
（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：如图4，∠BOC=360÷n（用含n的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）①证法一
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC．
证法二：
∵△ABD与△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，
且∠BAD=∠CAE=60°，
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到，
∴△ABE≌△ADC，
②120°，90°，72°．
（2）①．
②证法一：
依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB=AD，AE=AC，
∴∠BAD=∠CAE=，
∴∠BAD﹣∠DAE=∠CAE﹣∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
∴△ABE≌△ADC，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠ADC+∠ODA=180°，
∴∠ABO+∠ODA=180°，
∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°，
∴∠BOC+∠DAB=180°，
∴∠BOC=180°﹣∠DAB=；
证法三：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=180°﹣（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∴∠BOC=180°﹣（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD），
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC，∠ADC+∠ACD=180°﹣∠DAC，
∴∠BOC=180°﹣（360°﹣∠BAC﹣∠DAC），
∴∠BOC=180°﹣∠BAD=；
证法四：同上可证△ABE≌△ADC．
∴∠AEB=∠ACD．
如图，连接CE，
∵∠BEC=∠BOC+∠OCE，
∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD﹣∠ACE，
∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．
即∠BOC=180°﹣∠CAE=．