Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E点为线段BC的中点，AD=2，tan∠ABD=

1

2

．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠EDC的值．

Answer 1

分析：（1）利用∠ABD的正切值求出BD的长，再利用勾股定理列式进行计算即可求出AB；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE，再根据等边对等角的性质可得∠EDC=∠C，再根据同角的余角相等求出∠C=∠ABD，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵AD=2，tan∠ABD=

1

2

，
∴BD=2÷

1

2

=4，
∴AB=

AD2+BD2

=

22+42

=2

5

；

（2）∵BD⊥AC，E点为线段BC的中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠C，
∵∠C+∠CBD=90°，∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∴∠EDC=∠ABD，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

2

2 5

=

5

5

，
即sin∠EDC=

5

5

．

点评：本题考查了解直角三角形，主要利用了锐角三角函数，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题．