题目内容

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠B=30°，∠C=45°，AC=4．求BC的长和tan∠ADC的值．

解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEC中，
∵AC=4，
∴cos∠C= $\text{[math]}$ ，即cos45°= $\text{[math]}$ ，
∴EC=4×cos45°=2 $\text{[math]}$ ，
又∵∠C=45°，
∴AE=EC=2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AEB中，
tan∠B= $\text{[math]}$ ，即tan30°= $\text{[math]}$ ，
∴BE= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴BC=BE+EC=2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ，
∴DE=DC-EC= $\text{[math]}$ BC-EC= $\text{[math]}$ （2 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）-2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴tan∠ADC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1．
分析：首先作AE⊥BC，构建直角三角形，然后根据直角三角形特殊角的三角函数，即可推出EC和AE的长度，再根据∠B的正切值推出BE的长度，既而推出BC和C、BD的长度，便知DE=DC-EC= $\text{[math]}$ BC-EC= $\text{[math]}$ ，根据正切的定义，即可推出tan∠ADC的值．
点评：本题主要考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，关键在于根据题意作出辅助线构建直角三角形，推出AE，DE的长度．