Question

如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：PA•PE=PC•PF；
（2）求证：

PE2

PC2

=

PF

PB

；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．

Answer 1

分析：（1）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠F，∠CAB=∠E，则∠F=∠E，根据内错角相等，得到AF∥CE，再根据平行线分线段成比例定理进行证明；
（2）利用（1）的比例式，两边同平方，再根据切割线定理进行等量代换即可；
（3）要求两个三角形的面积比，根据（1）知：两个三角形相似．所以只需求得它们的一组对应边的比，根据所给的线段的比值，结合勾股定理的逆定理发现Rt△PCE，连接AE，AE即是直径．又根据平行线的性质得到∠PAF=90°，则AF是圆的直径．根据勾股定理得到x与y的比值，从而得到三角形的面积比．

解答：（1）证明：连接AB，
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB=∠F．
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠F．
∴AF∥CE．
∴

PE

PF

=

PC

PA

．
∴PA•PE=PC•PF．

（2）证明：∵

PE

PF

=

PC

PA

，
∴

PE2

PF2

=

PC2

PA2

．
∴

PE2

PC2

=

PF2

PA2

．
再根据切割线定理，得PA²=PB•PF，
∴

PE2

PC2

=

PF

PB

．

（3）解：连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，
而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5．
设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，
∴EP²=PC²+CE²，PF²=PA²+FA²．
∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．
∵⊙O与⊙O'等圆，
∴AE=AF=4y．
∵AC²+CE²=AE²
∴（3x+3y）²+（4x）²=（4y）²即25x²+18xy-7y²=0，
∴（25x-7y）（x+y）=0，
∴

x

y

=

7

25

．
∴S△ECP：S△FAP=

x2

y2

=

49

625

．

点评：此题综合运用了切线的性质、圆周角定理的推论、切割线定理以及相似三角形的性质和判定，难度比较大，综合性比较强．