Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）求证：AE=AF；  
（2）求证：CD=2BE+DE．

Answer 1

证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，，
∴△AEB≌△AFC（SAS）
∴AE=AF；
                    
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．
∵AG⊥EC，BE⊥CD，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点是AB的中点，
∴BD=AD．
∴在△BED与△AGD中，，
∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．
分析：（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故
CD=2BE+DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．