Question

某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天销售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的y与x的函数关系，并求出函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据统计表，得
，
解得：，
故函数关系式是y=-10x+800；

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000
则当x=50时，W有最大值9000．
故当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．

（3）设总利润为m元，则每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，由题意，得
M=（-10x+800）（x-20+a），
=-10x2+10（100-a）x-16000+800a，
=-10（x-50+a）²+（100-a）²-16000+800a，
∵a=-10＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧M随x的增大而增大．
∴x=50-a时，M有最大值．
∵日销售利润M随销售单价x的增大而增大，且x≤46，
∴50-a≥46，
∴a≤8．
∵a＞4，
∴4＜a≤8．
分析：（1）直接运用待定系数法根据统计表的数据就可以求出y与x之间的函数关系式；
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，先表示出每件的利润为（x-20），再根据总利润=销售总价-成本总价建立等式即可得出结论；
（3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x-20+a）元，再根据总利润=销售总价-成本总价建立函数关系式即可．
点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，不等式的解法和运用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键．