Question

【题目】将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．

（1）求证：EC平分∠AEB；

（2）求 的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出 ，进而求出

(1)证明：∵Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，

∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB；

(2)如图，设AB与CE交于点M.

∵EC平分∠AEB，

∴.

在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB为直径的圆经过点E，

∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE=，

∴AE=BE，

∴.

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G.

在△AFM与△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，

∴△AFM∽△BGM，

∴，

∴.