Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求证：AB+AD=2AE．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到CE=CF，∠F=∠CEB=90°，即可得到结论；

（2）由CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得到∠F=∠CEA=90°，推出Rt△FAC≌Rt△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AE，由△BCE≌△DCF，得到BE=DF，于是得到结论．

【解答】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE和Rt△DCF中，

∴△BCE≌△DCF；

（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴∠F=∠CEA=90°，

在Rt△FAC和Rt△EAC中，

，

∴Rt△FAC≌Rt△EAC，

∴AF=AE，

∵△BCE≌△DCF，

∴BE=DF，

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）

=AE+BE+AE﹣DF=2AE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和RT△ACF≌RT△ACE是解题的关键．