Question

O点是△ABC所在平面内一动点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，如果DEFG能构成四边形。

（1）如图，当O点在△ABC内时，求证四边形DEFG是平行四边形；

（2）当O点移动到△ABC外时，（1）的结论是否成立？画出图形并说明理由；

（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？试说明理由。

Answer 1

（1）证明：∵D，G是AB、AC的中点

∴DG∥BC且DG=BC

∵E、F分别是OB、OC的中点

∴EF∥BC且EF=BC

∴DG∥BF且DG=EF

∴四边形DEFG是平行四边形                  

（2）图（略）                                                            

证法同（1）                                           

（3）若四边形DEFG是矩形，O点应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外）。

理由：如图，过A作BG的垂线MN交BC于K点，设O是MN上任一点。（A点除外）。

连结OB，OC，由（1）得DEFG是平行四边形。在△ABO中，；

在△ABC中，DG∥BC，AK⊥BC，∴DE⊥DG，即∠EDG=90°

∴平行四边形DEFG是矩形。