Question

我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是

ABC

的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题AB⊥DE，满足垂径定理，可以写出垂径定理的结论；
（2）根据三角形相似就可以证出；
（3）若点C和点E重合，设∠BAC=x，又D是

ABC

的中点，根据2∠CAD=∠CAD+ACD=180°-∠ABC，就可以求出∠BAC的度数．

解答：解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．
（写对一个给（1分），写对两个给2分）

（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．
结论：PA•PB=PC•PD．
证明：连接AD，BC，
∵∠APD=∠BPC，∠D=∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA•PB=PC•PD；

（3）若点C和点E重合，
则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，（8分）
设∠BAC=x，则∠BAD=x，∠ABC=90°-x，（9分）
又D是

ABC

的中点，所以2∠CAD=∠CAD+∠ACD=180°-∠ABC，
即2•2x=180°-（90°-x），（10分）
解得x=∠BAC=30°．（11分）
（若求得AB=

3

2

AC或AF=3•FB等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B、C是圆的十二等分点，然后说明．）

点评：本题主要考查了垂径定理以及相交弦定理的证明过程，正确理解题意，读懂图意是解决本题的关键．