Question

抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)．

(1)求出一个符合上述条件的抛物线的解析式；

(2)若抛物线与y轴交于点C(0，)，点E(x，y)是抛物线上位于x轴上方的一个动点，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

①求□OEBF的面积S与x之间的函数关系式，当□OEBF的面积为时，求点E的坐标，并判断此时四边形OEBF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEBF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知可得抛物线的对称轴为x＝1． 　　设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋h．将(－1，0)代入，得4a＋h＝0． 　　取a＝－1，h＝4得y＝－(x－1)2＋4，即为符合条件的解析式． 　　注意：答案不唯一，正确即可． 　　(2)①将C(0，)代入y＝a(x－1)2＋h，得a＋h＝． 　　由(1)知4a＋h＝0，解得a＝－，h＝2． 　　抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋2． 　　因为点E(x，y)是抛物线上位于x轴上方的点， 　　所以y＞0，y即为点E到x轴的距离． 　　又因为OB是□OEBF的对角线， 　　所以S＝2S△OEB＝2××OB×y＝－(x－1)2＋6． 　　因为抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)， 　　所以自变量x的取值范围是－1＜x＜3． 　　所以S与x之间的函数关系式为S＝－(x－1)2＋6(－1＜x＜3)． 　　当S＝时，有－(x－1)2＋6＝． 　　解得x1＝，x2＝． 　　故所求的点E有两个， 　　分别为E1(，)，E2(，)， 　　点E1不满足OE＝BE，此时，□OEBF不是菱形， 　　点E2满足OE＝BE，此时，□OEBF是菱形． 　　②当OB⊥EF，且OB＝EF时，□OEBF是正方形，此时点E的坐标只能是(，)． 　　但坐标为(，)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E使□OEBF为正方形．