Question

已知关于x的一元二次方程x²+（3-a）x+a-5=0
（1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；
（2）若方程一根大于2，另一根小于2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先计算根的判别式得到△=a²-10a+29，再配方得△=（a-5）²+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）设方程的两根为m，n，根据根与系数的关系得m+n=a-3，mn=a-5，再由题意得到（m-2）（n-2）＜0，变形得mn-2（m+n）+4＜0，所以a-5-2（a-3）+4＜0，然后解关于a的不等式．

解答：（1）证明：△=（3-a）²-4（a-5）
=a²-10a+29
=（a-5）²+4，
∵（a-5）²≥0，
∴（a-5）²+4＞0，
∴无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根；

（2）解：设方程的两根为m，n，则m+n=a-3，mn=a-5，
∵m＞2，n＜2，
∴m-2＞0，n-2＜0，
∴（m-2）（n-2）＜0，
∴mn-2（m+n）+4＜0，
∴a-5-2（a-3）+4＜0，
∴a＞5．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解和根与系数的关系．